Propiedad asociativa: suma y multiplicación

La suma y la multiplicación sí tienen la propiedad asociativa pero la resta y la división no la tienen. 

Vamos a verlo en cada caso para entender bien el motivo.

La propiedad asociativa de la suma

La suma tiene la propiedad asociativa y vamos a ver por qué.

Cuales quiera que sean los números a, b  y c, siempre se cumple la siguiente igualdad:

(a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b

Fijaros en el siguiente ejemplo con números concretos.

Supongamos que a=3, b= 18 y c=1. Ya sabéis que primero hay que calcular los paréntesis.

(3 + 18) + 1 = 21 + 1 = 22

3 + (18 + 1) = 3 + 19  = 22

(3 + 1) + 18 = 4 + 18 = 22

Como habéis visto, independientemente del orden en que hemos agrupado los números, el resultado no varía.

Ahora os voy a mostrar un ejemplo más visual:

Vamos a sumar 3 + 2 + 1, asociando los números (agrupando las frutas) de dos formas diferentes.

En el dibujo de la izquierda primero sumamos los dos primeros números, el 3 y el 2. Y al resultado, que es 5, le sumamos el 1. Nos da 6. En total 6 piezas de fruta.

Para el dibujo de la derecha, primero sumamos los dos últimos números, el 2 y el 1. 2 más 1 nos da 3. Después hacemos 3 más 3 y nos da 6. En este caso también obtenemos como resultado el 6. En total 6 piezas de fruta, las mismas que en el ejemplo anterior.

Esta es la propiedad asociativa de la suma: se puede cambiar el orden en que agrupas los números ya que no influye en el resultado final de la operación.

La propiedad asociativa de la resta

A diferencia de la suma, la resta no tiene la propiedad asociativa.

Veamos un ejemplo. Queremos restar 10 – 5 -3:

(10 – 5) – 3 = 5 – 3 = 2

10 – (5 – 3) = 10 – 2 = 8

Si restamos los dos primeros números , 10 menos 5, nos da 5. Si luego restamos el 3 nos da 2. Por el contrario, si restamos los dos últimos números primero, 5 menos 3 es 2. Si al 10 le restamos el 2 nos da 8.

Cambiar la forma de asociar los números en la resta sí varía el resultado. Por lo tanto la resta no tiene la propiedad asociativa. 

La propiedad asociativa de la multiplicación

Primero probad a calcular (2 x 3) x 4. Y después, 2 x (3 x 4). ¿Os da el mismo resultado?

Si os ha dado el mismo resultado enhorabuena porque la multiplicación sí que tiene la propiedad asociativa y el resultado no varía aunque cambies el orden de multiplicar los números. El orden de asociar los factores no influye en el producto final de la operación.

(a x b) x c = a x (b x c) = (a x c) x b

Si a= 3, b= 5 y c = 10, nos queda:

(3 x 5) x 10 = 15 x 10 =150

3 x (5 x 10) = 3 x 50 = 150

(3 x 10) x 5 = 30 x 5 = 150

Ahora veamos cómo se cumple esta propiedad con otro ejemplo más visual:

Vamos a contar el número de cubos que hay en la siguiente imagen. En total hay 24 cubos.

Para contar el número de cubos, hay varias formas de hacerlo a parte de ir contando uno a uno.

Una forma es contar primero los cubos que hay en una sola columna.

Si nos fijamos en la primera columna coloreada de naranja hay, 3 x 2 = 6, 6 cubos.  ¿Cuántas columnas son en total? Muy bien, hay 4 columnas. Por lo tanto, 6 por 4, nos da el número total de cubos que hay, que son 24 cubos.

Otra forma es contando los cubos que hay en una fila.

En la primera fila coloreada de verde hay, 4 x 2 = 8, 8 cubos. Y como en total hay 3 filas, para calcular el número total de cubos que hay, hacemos 8 x 3 que son 24. Hay 24 cubos en total.

Hemos realizado las siguientes operaciones:

Independientemente de cómo agrupes los factores, el resultado sigue siendo el mismo.

La propiedad asociativa de la división

Vamos a calcular 8÷2÷2. Primero prueba a dividir (8÷2)÷2, ¿qué os da? 8 entre 2 es 4, y 4 entre 2 es 2. Bien.

Y ahora opera 8÷(2÷2). Calculando primero el paréntesis, 2 entre 2 es 1 y 8 entre 1 da 8. Genial. ¿Qué vemos?

Que nos ha dado resultados completamente diferentes.

Veamos otro ejemplo, 18÷6÷3, agrupando de nuevo los números de dos formas diferentes y comprobemos si el resultado es el mismo o no.

De una forma nos da 1 y de la otra nos da 9. De nuevo los resultados no coinciden.

Por lo tanto, podemos decir que la división no tiene la propiedad asociativa.

Una cosa importante: si no hay ningún paréntesis se divide de izquierda a derecha.

Espero haberos ayudado a entender mejor esta propiedad tan importante. Si queréis profundizar más podéis visitar estas entradas anteriores de nuestro blog:

• ¿Qué es la propiedad asociativa de la multiplicación?
• Propiedad asociativa en las multiplicaciones
• Cómo aplicar la propiedad asociativa en un problema
• Propiedades de la suma

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Para seguir aprendiendo:

• ¿Qué es la propiedad asociativa de la multiplicación?
• Cómo aplicar la propiedad asociativa en un problema
• Propiedades de la suma II
• Propiedad distributiva de la multiplicación
• Propiedades de la multiplicación: Distributiva, conmutativa, asociativa, sacar factor común y elemento neutro

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Mina Park

Mina es Licenciada en Matemáticas y cursó el Máster Universitario de Profesor de ESO y Bachillerato con especialidad en Matemáticas. Forma parte del equipo de desarrollo de contenidos de Smartick. Amante de los animales, del patinaje de velocidad y de las actividades al aire libre.

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