En esta entrada vamos a presentar algunos resultados sorprendentes sobre números primos. Es recomendable que antes leas el post Números primos y números compuestos para refrescar tus conocimientos sobre los números.
¿Estás preparado para continuar? ¡Perfecto!
Seguro que ya te has dado cuenta de que es posible escribir algunos números como producto de otros, es decir, se pueden descomponer:
Por ejemplo, podemos escribir: 18 = 2 x 3 x 3
Sin embargo, esto no ocurre para todos los números pues existen algunos para los que no es posible realizar tal descomposición.
Esos números son el 2, el 3, el 5, el 7, el 11… Es decir, ¡los números primos!
Definición equivalente de número primo
Como ya sabes, cuando un número solo es divisible entre sí mismo y la unidad se dice que es un número primo. Sin embargo, esta definición esconde un secreto y es que… ¿Qué pasa con el número 1? ¿Es primo? La respuesta es que no. La clave está en que para que un número sea primo hay que exigirle que sea divisible entre sí mismo y la unidad. Ambas cosas. Para evitar esta complicación, los matemáticos usamos una definición de número primo equivalente.
Se dice que un número es un número primo si tiene exactamente dos divisores.
Teorema fundamental de la aritmética
Ahora que ya tenemos claro lo que es un número primo, vamos a ver algunos resultados matemáticos importantes. Antes habíamos escrito el número 18 como producto de los números primos 2 y 3. ¿Podríamos haberlo hecho de otra forma? La respuesta es que no. Pero esto no solo ocurre para el número 18, sino para cualquier número que imaginemos. A esto se lo conoce como «Teorema fundamental de la aritmética» y es, posiblemente, uno de los resultados más importantes de todas las matemáticas.
Todo número entero mayor que 1 se expresa de forma única como producto de números primos.
¿Cuántos números primos existen?
Por desgracia, no hay una fórmula que permita identificarlos a todos. Por ello, históricamente los matemáticos se las han tenido que ingeniar para desarrollar métodos que permitan encontrarlos. Otro de los desafíos a los que se enfrentan los matemáticos es el de conocer cómo se distribuyen los números primos. En efecto, la cantidad de primos que hay en un cierto intervalo es variable. Mira la siguiente tabla.
Existen infinitos números primos
El razonamiento para demostrar lo anterior es muy sencillo. Supongamos que no existiesen infinitos números primos. Entonces, habría uno que fuese el mayor de todos. Llamemos P a ese número primo que es el mayor de todos. A continuación, construimos otro número, que llamaremos Q, de la siguiente manera:
Q = (2 x 3 x 5 x 7 x 11 x … x P) + 1
Este nuevo número es el resultado de multiplicar todos los números primos hasta el último y luego sumarle 1. Ahora resulta que Q no es divisible entre ningún número primo pues el resto de dividirlo entre cualquiera de ellos es 1. ¡Prueba a dividir 31 entre 2, 3 y 5 para comprobarlo tú mismo! Por lo tanto, Q solo es divisible entre sí mismo y entre la unidad, es decir, ¡es primo! Pero, claramente, Q es mayor que P.
Por lo tanto, hemos encontrado un primo mayor que el mayor de todos los números primos. Como esto es contradictorio, la conclusión es que no puede existir un número primo que sea el mayor de todos. O dicho de otra forma, que existen infinitos números primos.
Espero que este post te haya permitido aprender más cosas sobre números primos. Si quieres seguir aprendiendo, únete a la comunidad Smartick y pruébalo gratis.
Para seguir aprendiendo:
- Factorizar en números primos
- Números primos: actividades en Smartick
- Números primos y números compuestos
- Números primos: cómo encontrarlos con la criba de Eratóstenes
- Factorizar un número en 8 pasos
Actualmente está cursando estudios de doctorado en Investigación en educación en la Universidad de Valladolid.
Es profesor de didáctica de la matemática en la Universidad de Valladolid y forma parte del equipo de desarrollo de contenidos de Smartick.
Entre sus aficiones destacan el tenis, el jazz y la escritura.
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Hola, apasiona lo de los números primos. Tengo una duda que no soy capaz de resolver buscando en la red. ¿Cuántos números primos hay identificados? Encuentro el nímero de millones de dígitos de los más altos pero no doy con el total de primos encontrados. Gracias,
buenas tardes.
tengo una curiosidad.
si el número 1 no es un número primo, ¿cmo es posible que cualquier número entero mayor que 1 se expresa de forma única como producto de números primos?
el 7 por ejemplo…
Hola Rocío:
Muchas gracias por tu comentario.
En el post explicamos que «se dice que un número es un número primo si tiene exactamente dos divisores», pero no pone en ningún sitio que esos dos divisores deban ser números primos. Por tanto, el 7 por ejemplo es un número primo porque tiene exactamente dos divisores, el 7 y el 1.
El 1 únicamente es divisible por 1, no tiene dos divisores, por tanto no es un número primo.
¡Un saludo!
Gracias por hacer posible que sea mas fácil de entender los temas matemáticos, es muy importante para no perder el ánimo abrazosss