La geometría es vista en la escuela como una colección de fórmulas que responden a la pregunta de, ¿cómo calcular el área? La geometría es mucho más de eso: comprende toda la parte de las matemáticas que resuelve los problemas del espacio, responde a las preguntas sobre la forma de las figuras planas o tridimensionales, y va mucho más allá, tratando de responder a la forma que tiene nuestro universo… Pero, no nos vayamos tan lejos, antes de responder a esta pregunta es importante que tengamos claro a qué nos referimos cuándo nos preguntamos por el área de un polígono.
Índice
Confusión entre área y perímetro
Observa lo que nos dice el diccionario que es el área:
Superficie acotada que se distingue de lo que la rodea.
Podemos leer muy al pie de la letra esta definición: cuando nos pregunten por un área nos están preguntando por la superficie, no por lo que la rodea, una confusión muy típica es cuando en lugar de medir o calcular la superficie, medimos «lo que la rodea», el perímetro.
En un cuadro rectangular con un marco fino de metal o madera, la superficie acotada sería la parte pintada, el lienzo o el papel, mientras que el perímetro sería la medida de la longitud del marco. En el vídeo que hay a continuación se utiliza otro ejemplo, se ha hecho un huerto para distinguir en el huerto distintas superficies en las que se van a plantar distintos cultivos se colocan estacas en sus vértices y cuerdas que las delimitan, la longitud de estas cuerdas sería el perímetro.
El perímetro es siempre una medida de longitud.
Vídeo tutorial sobre cómo calcular el perímetro de cualquier figura
En este vídeo tutorial de Smartick podrás aprender de manera sencilla cómo calcular el perímetro de cualquier figura.
Aclarada, espero, la confusión, te recomiendo que leas: ¿Cómo calcular el perímetro? Si es eso lo que te interesa.
¿Cómo calcular el área de un polígono sobre una cuadrícula?
Si el polígono del que quieres saber el área se encuentra sobre una cuadrícula hay una manera muy sencilla de calcular su área: contar los cuadros que cubre. Pero, cuidado, las áreas son medidas de superficie, y por tanto, no puedes responder sólo con «seis» (si es que son seis los cuadrados que forman el polígono), habrá que indicar también las unidades que serán metros cuadrados, centímetros cuadrados… serán siempre unidades cuadradas, porque vendrán de ese recuento de cuadrados del que hablamos. Fíjate en el ejemplo a continuación, porque hay un detalle que no puedes pasar por alto:
Debajo de la cuadrícula hay un cuadradito que nos dice a cuanto mide cada cuadrado, es la leyenda de esta figura, y nos dice que cada cuadradito equivale a un centímetro cuadrado. Pero podría ser otra y que fuera igual a un metro cuadrado (si fuera el plano de una habitación) o a un kilómetro cuadrado si fuera el mapa de una región, o podría ser que cada cuadradito fueran 2 cm² y que entonces el área del rectángulo fuese 6 por 2, 12 cm².
Esta forma tan sencilla de responder a la pregunta de, ¿cómo calcular el área? Se puede aplicar cuando la figura está compuesta de varios polígonos, lo que se llama un polígono compuesto. Como en el ejemplo que viene a continuación:
En este caso habrá que contar cuadrados y medios cuadrados, y también llevar mucho cuidado, porque hay zonas que están en el interior de la figura pero no son de la figura, por lo que no podremos contarlas.
¿Cómo calcular el área de un rectángulo?
Contar cuadrados puede estar bien, pero si hay muchos puede que te saltes alguno, o que lo cuentes dos veces. Si la figura de la que quieres saber cómo se calcula el área es un rectángulo hay una manera mucho más rápida. Piénsalo, en los rectángulos los cuadraditos se organizan en filas y columnas, si quieres saber cuántos hay solo tienes que… multiplicar el número de filas por el número de columnas.
¿Y si no hay debajo una cuadrícula pero sí que conoces el ancho y el alto del rectángulo? Pues como se trataba de ver cuántos cuadrados unidad había en el rectángulo habrá tantos como el producto del ancho por el alto, las famosas base por altura.
Eso sí, tendrás que llevar precaución de que las dos medidas estén en la misma unidad, esto es, ambas en centímetros, en decímetros o en metros… para poder decir que el área es de tantos centímetros cuadrados, o decímetros cuadrados o.. lo que sea, pero cuadrado.
Área del rectángulo= base × altura
¿Cómo calcular el área de un triángulo rectángulo?
El caso más sencillo es el del triángulo rectángulo. Piénsalo, un triángulo rectángulo se puede obtener como medio rectángulo, justo el que está dividido por su diagonal.
Como del apartado anterior ya sabemos que el área del rectángulo se calcula multiplicando base por altura, el área del triángulo será la mitad de ese producto. Si en nuestro dibujo la distancia entre dos clavitos del geoplano es 1 centímetro, el rectángulo tendría 3 × 6 = 18 cm², el triángulo tendrá la mitad, exactamente 9 cm². Por cierto, para el dibujo hemos utilizado este geoplano online, por si lo quieres utilizar para hacer pruebas.
Área del triángulo rectángulo= (base × altura) ⁄ 2
Esta fórmula va a servir para calcular el área también de los triángulos no rectángulos, pero si quieres saber la razón tendrás que leer el siguiente apartado.
¿Cómo calcular el área de un romboide?
Un romboide es un cuadrilátero que tiene sus lados paralelos dos a dos. Como éste:
Si lo piensas cualquier romboide de papel se podría transformar, usando unas tijeras en un rectángulo, trazando un triángulo rectángulo y moviéndolo al extremo contrario.
El resultado es ¡un rectángulo! Por lo que el rectángulo y el romboide comparten la forma de calcular el área, base por altura.
Área del romboide = base × altura
¿Cómo calcular el área de un triángulo que no es rectángulo?
Tanto los triángulos acutángulos, como los octusángulos, se pueden ver como medio romboide, si copias y pegas el triángulo la lado del otro, se puede comprobar. Por tanto, y como el área del romboide es base por altura, el área de estos triángulos -y de cualquier triángulo- es base por altura entre dos:
Área del triángulo = (base × altura) ⁄ 2
¿Cómo calcular el área de un un trapecio?
Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos, que llamamos base mayor y base menor, como éste:
Si quieres saber cómo se calcula el área de un trapecio, lo más fácil es… hacer lo mismo que hemos hecho con los triángulos, copiar otro trapecio idéntico al lado, se convierte en… ¡un romboide!
La base de este romboide es la suma de la base mayor y la base menor, y la altura es la misma, el área del romboide sería (base mayor + base menor) × altura, como el trapecio es medio romboide:
Área del trapecio = [(base mayor + base menor ) × altura] ⁄ 2
¿Cómo calcular el área de un rombo?
Un rombo es un cuadrilátero que tiene los cuatro lados iguales. Por cierto, los cuadrados tienen los 4 lados iguales, eso hará que en algún momento entre finales de primaria y secundaria, empecemos a pensar que los cuadrados son «casos límite» de los rombos, también de los cuadrados, puedes leer esta entrada para saber un poco más de esto. Pero para lo que nos interesa en esta entrada un rombo es algo así:
Para que te puedan pedir el área de un rombo tienen que darte las longitudes de su diagonal mayor y su diagonal menor (que son la línea vertical y horizontal del dibujo, respectivamente).
En la imagen ya se observa una posible manera de encontrar cómo calcular el área del rombo, calculando el área de los cuatro triángulos idénticos que se forman al tener en cuenta las diagonales.
Cualquiera de esos triángulos va a tener de área base por altura partido por dos, su base es media diagonal menor, su altura es media diagonal mayor, por tanto el área de uno de esos triángulos es diagonal mayor por diagonal menor partido por 8. Como hay 4 triángulos:
Área del rombo = (diagonal mayor × diagonal menor ) ⁄ 2
¿Cómo calcular el área de un polígono regular de más de 4 lados?
Un polígono regular tiene todos sus lados iguales, también todos sus ángulos iguales. Por ejemplo el siguiente heptágono, polígono regular de 7 lados:
Para poder calcular su área con herramientas de primaria o principios de secundaria te tienen que dar la medida de su lado (de cualquiera de ellos, son TODOS iguales) y de su apotema, que es la línea que une el centro del polígono con la mitad del lado, en el heptágono podríamos trazar 7 segmentos como este, pero todos medirían lo mismo. Fíjate lo que ocurre cuando uno un par de vértices consecutivos del polígono con el centro:
Se forma un triángulo isósceles (en el caso del hexágono será un triángulo equilátero) que tiene de base el lado del polígono y de altura la apotema del polígono, además, el polígono está compuesto tantos triángulos como este como el número de lados, en nuestro caso, 7.
El área de uno de esos triángulos será lado por apotema partido de dos y el área total será 7 por lado por apotema partido de dos. Un momento, ¿7 veces el lado no será el perímetro de todo el polígono? Claro, entonces tenemos una fórmula que no precisa de calcular cada triángulo y luego multiplicar por el número de triángulos, es:
Área del polígono regular = (perímetro × apotema ) ⁄ 2
¿Cómo calcular el área de cualquier polígono no regular o compuesto?
Como ya veíamos al principio, si nos dan un polígono compuesto, o uno no regular, lo que tendremos que hacer es buscar partes del polígono que sí sepamos calcular, porque tengamos suficientes datos para hacerlo.
Conclusión
Como se ha visto a lo largo de esta larga entrada, el cálculo de áreas no se trata solamente de aprenderse fórmulas y aplicarlas bien, se trata de razonar y ver que las figuras se pueden dividir en otras más sencillas. Unas veces serán lados, otras, alturas, otras diagonales… Pero lo más probable es que sean triángulos. Los triángulos son los polígonos más sencillos, y las piezas clave de la geometría.
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Para seguir aprendiendo:
- Perímetro: qué es y cómo calcularlo en cada figura
- Cuadriláteros: paralelogramos, trapecios y trapezoides
- Cálculo de áreas de polígonos
- Geometría y figuras planas con la ayuda del Tangram
- Propiedad distributiva de la multiplicación
Es formador de maestros, tanto en formación inicial en la Facultad de Educación de la Universidad Complutense de Madrid como en formación continuada. Apasionado de tocar las matemáticas.
Forma parte del equipo de Didáctica de Smartick.
Autor del blog Tocamates y del libro “Y me llevo una”.
Le encanta la divulgación y -en general- la comunicación. No calla ni debajo del agua, de ahí que colabore con varias radios y medios de comunicación, y que si tiene un rato, se eche unos largos en la piscina.
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